初等变换和初等矩阵

是线性代数规划中的一个算法，可用来为线性方程组求解。但其算法十分复杂，不常用于加减消元法，求出矩阵的秩，以及求出可逆方阵的逆矩阵。不过，如果有过百万条等式时，这个算法会十分省时。一些极大的方程组通常会用迭代法以及花式消元来解决。当用于一个矩阵时，高斯消元法会产生出一个“行梯阵式”。高斯消元法可以用在电脑中来解决数千条等式及未知数。亦有一些方法特地用来解决一些有特别排列的系数的方程组。

消元法是将方程组中的一方程的未知数用含有另一未知数的代数式表示，并将其代入到另一方程中，这就消去了一未知数，得到一解；或将方程组中的一方程倍乘某个常数加到另外一方程中去，也可达到消去一未知数的目的。消元法主要用于二元一次方程组的求解。

1.两方程互换，解不变；
2.一方程乘以非零数k，解不变；
3.一方程乘以数k加上另一方程，解不变。

$$\begin{cases}a_1x+b_1y+c_1z=d_1\\a_2x+b_2y+c_2z=d_2\\a_3x+b_3y+c_3z=d_3\\\end{cases}$$

$$\begin{cases}X_1+X_2+X_3=3\\2X_1+5X_2+3X_3=-7\\X_1+2X_2+2X_3=2\\\end{cases}$$

• 交换矩阵中某两行（列）的位置；
• 用一个非零常数k乘以矩阵的某一行（列）；
• 将矩阵的某一行（列）乘以常数k后加到另一行（列）上去。

三类初等矩阵都是可逆矩阵，即非奇异阵。
三类初等矩阵行列式的值是：-1,k,1

初等行变换不影响线性方程组的解，也可用于高斯消元法，用于逐渐将系数矩阵化为标准形。初等行变换不改变矩阵的核（故不改变解集），但改变了矩阵的像。反过来，初等列变换没有改变像却改变了核。

有的时候，当矩阵的阶数比较高的时候，使用其行列式的值和伴随矩阵求解其逆矩阵会产生较大的计算量。这时，通常使用将原矩阵和相同行数（也等于列数）的单位矩阵并排，再使用初等变换的方法将这个并排矩阵的左边化为单位矩阵，这时，右边的矩阵即为原矩阵的逆矩阵。

$$\boldsymbol{M}=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\1 & 0 & 1\end{array}\right)^{2022}\left(\begin{array}{lll}a_1 & a_2 & a_3 \\b_1 & b_2 & b_3 \\c_1 & c_2 & c_3\end{array}\right)\left(\begin{array}{lll}0 & 0 & 1 \\0 & 1 & 0 \\1 & 0 & 0\end{array}\right)^{2022}$$

$$P_{s}···P_{2}P_{1}( A,I) = （I,P_{s}···P_{2}P_{1}）$$

$$(P_{s}···P_{2}P_{1})A = I ⇒ A^{-1} = P_{s}···P_{2}P_{1}$$

$$\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\1 & 2 & 3 \\1 & 3 & 4\end{array}\right)$$